Proces pierwszego ruchu ruchomy średni

Autoregresyjna symulacja ruchoma (pierwsze zdanie) Demonstracja jest ustawiona tak, że używa się tej samej losowej serii punktów, bez względu na to, jak są stałe i są one zróżnicowane. Jednak po naciśnięciu przycisku quotrandomizequot zostanie wygenerowana i wykorzystana nowa seria losowa. Utrzymanie losowej serii identycznej pozwala użytkownikowi zobaczyć dokładnie efekty zmian serii w obu seriach ARMA. Stała jest ograniczona do (-1,1), ponieważ rozbieżność serii ARMA wynika z tego, kiedy. Demonstracja dotyczy tylko procesu pierwszego rzędu. Dodatkowe terminy AR umożliwiłyby generowanie bardziej złożonych serii, podczas gdy dodatkowe warunki MA zwiększyłyby wygładzanie. Szczegółowy opis procesów ARMA znajduje się na przykład G. Box, G. M. Jenkins i G. Reinsel, Analiza szeregów czasowych: Prognozowanie i sterowanie. 3 ed. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1994. POWIĄZANE LINKI2.1 Modele średniej ruchomej (modele MA) Modele czasowe znane jako modele ARIMA mogą zawierać terminy autoregresyjne i średnie ruchome. W pierwszym tygodniu poznaliśmy pojęcie autoregresji w modelu szeregów czasowych dla zmiennej x t jest opóźnioną wartością x t. Na przykład pojęcie autoregresyjne opóźnienia 1 to x t-1 (przemnożone przez współczynnik). Ta lekcja definiuje średnie ruchome terminy. Zmienna średnia krocząca w modelu szeregów czasowych to błąd z przeszłości (pomnożony przez współczynnik). Niech (wt overset N (0, sigma2w)), co oznacza, że ​​w t są identycznie, niezależnie rozmieszczone, każdy z rozkładem normalnym mającym średnią 0 i taką samą wariancję. Model średniej ruchomej pierwszego rzędu oznaczony jako MA (1) to (xt mu theta1w). Model średniej ruchomej drugiego rzędu oznaczony jako MA (2) to (xt. Mu theta1w theta2w). Model średniej ruchomej kw. Rzędu oznaczony jako MA (q) to (xt mu wt. theta1w theta2w dots thetaqw) Uwaga. Wiele podręczników i programów definiuje model z negatywnymi znakami przed terminami. Nie zmienia to ogólnych teoretycznych właściwości modelu, mimo że odwraca algebraiczne znaki szacowanych wartości współczynników i (nieakwadowanych) terminów w formułach dla ACF i wariancji. Musisz sprawdzić oprogramowanie, aby sprawdzić, czy zostały użyte negatywne lub pozytywne znaki, aby poprawnie zapisać oszacowany model. R używa pozytywnych znaków w swoim podstawowym modelu, tak jak my tutaj. Teoretyczne właściwości szeregu czasowego z modelem MA (1) Należy zauważyć, że jedyną niezerową wartością w teoretycznym ACF jest dla opóźnienia 1. Wszystkie inne autokorelacje wynoszą 0. Zatem próbka ACF ze znaczącą autokorelacją tylko w opóźnieniu 1 jest wskaźnikiem możliwego modelu MA (1). Dla zainteresowanych studentów, dowody tych właściwości są załącznikiem do tej ulotki. Przykład 1 Załóżmy, że model MA (1) to x t 10 w t .7 w t-1. gdzie (wt overset N (0,1)). Zatem współczynnik 1 0,7. Teoretyczny ACF jest podany przez A wykres tego ACF. Przedstawiony wykres jest teoretycznym ACF dla MA (1) z 1 0,7. W praktyce próbka zwykle zapewnia tak wyraźny wzór. Korzystając z R, symulowaliśmy n 100 wartości próbek, stosując model x t 10 w t .7 w t-1, gdzie w tid N (0,1). W przypadku tej symulacji następuje wykres serii danych przykładowych. Nie możemy wiele powiedzieć z tego spisku. Wyświetlany jest przykładowy ACF dla symulowanych danych. Widzimy skok w opóźnieniu 1, po którym następują ogólnie nieistotne wartości opóźnień po 1. Należy zauważyć, że próbka ACF nie pasuje do teoretycznego wzoru leżącego u podstaw MA (1), co oznacza, że ​​wszystkie autokorelacje dla opóźnień minionych 1 będą wynosić 0 Inna próbka miałaby nieco inny przykładowy ACF pokazany poniżej, ale prawdopodobnie miałby te same szerokie funkcje. Teoretyczne właściwości szeregu czasowego z modelem MA (2) Dla modelu MA (2), właściwości teoretyczne są następujące: Należy zauważyć, że jedynymi niezerowymi wartościami w teoretycznym ACF są opóźnienia 1 i 2. Autokorelacje dla wyższych opóźnień wynoszą 0 Tak więc, próbka ACF ze znaczącymi autokorelacjami w opóźnieniach 1 i 2, ale nieistotne autokorelacje dla wyższych opóźnień wskazuje na możliwy model MA (2). iid N (0,1). Współczynniki wynoszą 1, 0,5 i 2 0,3. Ponieważ jest to MA (2), teoretyczny ACF będzie miał niezerowe wartości tylko w opóźnieniach 1 i 2. Wartości dwóch niezerowych autokorelacji to wykres teoretycznego ACF. Jak prawie zawsze, dane przykładowe nie zachowują się tak doskonale, jak teoria. Przeprowadzono symulację wartości 150 próbek dla modelu x t 10 w t .5 w t-1 .3 w t-2. gdzie z tid N (0,1). Następnie następuje seria danych czasowych. Podobnie jak w przypadku wykresu szeregów czasowych dla przykładowych danych MA (1), nie można wiele z nich powiedzieć. Wyświetlany jest przykładowy ACF dla symulowanych danych. Wzór jest typowy w sytuacjach, w których może być przydatny model MA (2). Istnieją dwa istotne statystycznie skoki w opóźnieniach 1 i 2, po których następują nieistotne wartości dla innych opóźnień. Zauważ, że z powodu błędu próbkowania, próbka ACF nie zgadzała się dokładnie z modelem teoretycznym. ACF dla modeli MA (q) Ogólne Właściwość modeli MA (q) ogólnie jest taka, że ​​istnieją niezerowe autokorelacje dla pierwszych q opóźnień i autokorelacji 0 dla wszystkich opóźnień gt q. Niejednoznaczność połączenia między wartościami 1 i (rho1) w modelu MA (1). W modelu MA (1) dla dowolnej wartości 1. odwrotność 1 1 daje tę samą wartość Jako przykład, użyj 0.5 dla 1. a następnie użyj 1 (0,5) 2 dla 1. Dostaniesz (rho1) 0,4 w obu przypadkach. Aby spełnić teoretyczne ograniczenie zwane odwracalnością. ograniczamy MA (1) modelom do wartości z wartością bezwzględną mniejszą niż 1. W podanym przykładzie 1 0,5 będzie dopuszczalną wartością parametru, a 1 10,5 2 nie. Odwracalność modeli MA Model MA jest uważany za odwracalny, jeśli jest algebraicznie równoważny z konwergentnym nieskończonym modelem AR rzędu. Przez konwergencję rozumiemy, że współczynniki AR zmniejszają się do 0, gdy cofamy się w czasie. Odwracalność jest ograniczeniem zaprogramowanym w oprogramowaniu szeregów czasowych służącym do oszacowania współczynników modeli z warunkami MA. To nie jest coś, co sprawdzamy w analizie danych. Dodatkowe informacje na temat ograniczeń odwracalności modeli MA (1) podano w załączniku. Advanced Theory Note. W przypadku modelu MA (q) z określonym ACF istnieje tylko jeden odwracalny model. Warunkiem koniecznym do odwrócenia jest to, że współczynniki mają wartości takie, że równanie 1- 1 y-. - q y q 0 ma rozwiązania dla y, które wypadają poza kółkiem jednostki. Kod R dla przykładów W przykładzie 1, narysowaliśmy teoretyczny ACF modelu x t 10 w t. 7w t-1. a następnie zasymulowano wartości n 150 z tego modelu i wykreślono serie czasowe próbek oraz próbkę ACF dla symulowanych danych. Polecenia R użyte do wykreślenia teoretycznego ACF to: acfma1ARMAacf (mac (0.7), lag. max10) 10 opóźnień ACF dla MA (1) z theta1 0.7 lags0: 10 tworzy zmienną o nazwie opóźnienia, która mieści się w zakresie od 0 do 10. wykres (opóźnienia, acfma1, xlimc (1,10), ylabr, typeh, główne ACF dla MA (1) z theta1 0.7) abline (h0) dodaje oś poziomą do wykresu Pierwsze polecenie określa ACF i zapisuje je w obiekcie o nazwie acfma1 (nasz wybór nazwy). Polecenie fabuły (polecenie 3) wykreśla opóźnienia w stosunku do wartości ACF dla opóźnień od 1 do 10. Parametr ylab oznacza oś y, a parametr główny umieszcza tytuł na wykresie. Aby zobaczyć wartości liczbowe ACF, wystarczy użyć polecenia acfma1. Symulacja i wykresy zostały wykonane za pomocą następujących poleceń. xcarima. sim (n150, list (mac (0.7))) Symuluje n 150 wartości z MA (1) xxc10 dodaje 10, aby uzyskać średnią 10. Domyślne ustawienia symulacji na średnią 0. wykres (dane x, typeb, mainSimulated MA (1)) acf (x, xlimc (1,10), mainACF dla symulowanych danych próbki) W Przykładzie 2, wyliczyliśmy teoretyczny ACF modelu xt 10 wt .5 w t-1 .3 w t-2. a następnie zasymulowano wartości n 150 z tego modelu i wykreślono serie czasowe próbek oraz próbkę ACF dla symulowanych danych. Zastosowano następujące komendy R: acfma2ARMAacf (mac (0.5,0.3), lag. max10) acfma2 wykres lags0: 10 (opóźnienia, acfma2, xlimc (1,10), ylabr, typeh, główny ACF dla MA (2) z theta1 0.5, theta20.3) abline (h0) xcarima. sim (n150, list (mac (0.5, 0.3))) wykres xxc10 (x, typb, główna symulowana seria MA (2)) acf (x, xlimc (1,10), mainACF dla symulowanych danych MA (2) Załącznik: Dowód właściwości MA (1) Dla zainteresowanych studentów, tutaj są dowody na teoretyczne właściwości modelu MA (1). Wariancja: (tekst (xt) tekst (mu wt theta1 w) 0 tekst (wt) tekst (theta1w) sigma2w theta21sigma2w (1teta21) sigma2w) Gdy h 1, poprzednie wyrażenie 1 w 2. Dla dowolnego h 2, poprzednie wyrażenie 0 Powodem jest to, że z definicji niezależności wt. E (w k w j) 0 dla dowolnego k j. Ponadto, ponieważ w t mają średnią 0, E (wj w j) E (wj2) w 2. W przypadku szeregu czasowego Zastosuj ten wynik, aby uzyskać powyższy ACF. Odwracalny model MA to taki, który można zapisać jako nieskończony model AR rzędu, który zbiega się w taki sposób, że współczynniki AR zbiegają się do 0, gdy cofamy się nieskończenie w czasie. Dobrze demonstruje odwzorowanie modelu MA (1). Następnie podstawiamy relację (2) dla w t-1 w równaniu (1) (3) (zt wt theta1 (z - theta1w) wt theta1z - theta2w) W czasie t-2. równanie (2) staje się wtedy zastępujemy zależności (4) dla w t-2 w równaniu (3) (zt wt theta1 z - theta21w wt theta1z - theta21 (z-teta1w) wt theta1z - theta12z theta31w) Jeśli mielibyśmy kontynuować ( w nieskończoność), otrzymalibyśmy nieskończony porządek modelu AR (zt wt theta1 z - theta21z theta31z - theta41z dots) Zwróć jednak uwagę, że jeśli 1 1, współczynniki pomnożące opóźnienia z wzrosną (nieskończenie) w miarę, jak cofniemy się w czas. Aby temu zapobiec, potrzebujemy 1 lt1. Jest to warunek dla odwracalnego modelu MA (1). Nieskończony model MA zamówienia W tygodniu 3, zobacz, że model AR (1) można przekonwertować do modelu MA nieskończonego rzędu: (xt - mu wt phi1w phi21w dots phik1 w dots sum phij1w) To podsumowanie ostatnich terminów białego szumu jest znane jako przyczynową reprezentację AR (1). Innymi słowy, x t jest szczególnym rodzajem MA z nieskończoną liczbą terminów cofających się w czasie. Nazywa się to nieskończonym porządkiem MA lub MA (). MA skończonego porządku jest nieskończonym porządkiem AR, a każde skończone zamówienie AR jest nieskończonym zleceniem MA. Przypomnijmy w Tygodniu 1, że zauważyliśmy, że warunkiem stacjonarnego AR (1) jest 1 lt1. Pozwala obliczyć Var (x t) za pomocą reprezentacji przyczynowej. Ten ostatni krok wykorzystuje podstawowy fakt o szeregach geometrycznych, które wymagają (phi1lt1), w przeciwnym razie seria się rozbiega. NavigationGiven Średnia ruchoma pierwszego rzędu, gdzie e (n) jest sekwencją zmiennych losowych Gaussa o zerowej średniej i jednostkowej wariancji, które są niezależne od siebie, a c jest stałą ważącą w przedziale ,, 0 lt 1. W tych warunkach , jest x (n) procesem Markowa Próbowałem zaczynać od poprzednich równań zaczynam x (n-2) amp amp e (n-2) amp amp c, e (n-3) x (n-1) amp amp e ( n-1) amp amp c, e (n-2) x (n) amp amp e (n) amp amp c, e (n-1) end Patrząc na te równania intuicyjnie piszę, ponieważ x (n) jest całkowicie niezależny z x (n-2). Ale nie mogę wyrazić tego pomysłu w języku matematycznym. Proces (xn) n nie jest Markowa. Aby obliczyć rozkład xn warunkowo na mathcal G sigma (x), należy postępować w następujący sposób. Po pierwsze, zauważ, że xnencx - c2e, gdzie x jest mathcal G mierzalny i en jest niezależny od mathcal G veesigma (e). Aby poradzić sobie z częścią e, zauważ, że (e, x) jest gaussowskie, a więc e alpha x beta y dla niektórych alfa i beta oraz pewna gaussowska zmienna losowa y niezależna od mathcal G. Aby zidentyfikować alfa, beta i y, zauważ, że x e ce i y ce - e są niezależne i że e alpha x beta y dla alphac1c2 i beta-1 (1c2). Zatem, warunkowo na matematyce G, e jest gaussowskim ze średnią alfa x i wariancją beta2mathrm (y) 1 (1c2). Wreszcie, rozkład xn (c-c2alfa) x (en-c2beta y) wskazuje, że xn (c (1c2)) x oznacza gdzie zn jest gaussowskie, niezależne od x, wyśrodkowane z wariancją sigma21c4beta2mathrm (y) (1c2c4) (1c2) . Tak więc, rozkład xn warunkowo na mathcal G jest gaussowskim ze średnią (c (1c2)) x i wariancją sigma2. Aby obliczyć rozkład xn warunkowo na matematyce H sigma (x, x), postępuje się jak powyżej. Wynikiem tego jest xngamma x delta x tn dla niektórych gamma i delta oraz pewna gaussowska zmienna losowa tn niezależna od mathcal H. Tak więc, rozkład xn warunkowo na matematycznym H jest gaussowskim ze średnią gamma x delta x i wariancją tau21c2-gamma2-delta2-2cgammadelta. Ponieważ deltane0, rozkłady xn warunkowo na mathcal G i mathcal H różnią się stąd (xn) n nie jest procesem Markowa. Argument można zaadaptować, aby pokazać, że dla każdego kgeqslant1 (xn) nie jest Markowa z pamięcią k. odebrane 23 marca 13 o 12:50